Collatz

I matematici avvertono i lcolleghi di stare alla larga dall‘ipotesi di Collatz. Tuttavia, Terence Tao ha deciso di correre un rischio ed è molto vicino a risolvere quello che molti chiamano il problema più semplice impossibile al mondo.

La congettura di Collatz si applica a qualsiasi numero naturale e ci dice che se il numero è pari, e quindi dividerlo per 2 e, se è dispari, moltiplicarndolo per 3 e aggiungere 1. Quindi, se iniziamo, ad esempio con il numero 5, abbiamo la seguente sequenza: 5; 16; 8; 4; 2; 1. La congettura sostiene che, indipendentemente dal numero con cui si inizia, alla fine la sequenza termina con 1.

Secondo il matematico Greg Muller, “i matematici sospettano che risolvere la congettura di Collatz aprirà nuovi orizzonti e svilupperà importanti nuove tecniche nella teoria dei numeri“. Derek Jennings commenta che “poiché è facile da presentare e da capire, ha il potenziale di attirare i giovani in matematica“.

Diversi esperti hanno avvertito i matematici di stare alla larga da questo problema che può far impazzire chiunque. “Questo è un problema davvero pericoloso. Le persone ne sono ossessionate ed è davvero impossibile” , afferma Jeffrey Lagarias, un matematico dell’Università del Michigan.

Tuttavia, c’è sempre una persona che non si preoccupa degli avvertimenti e si tratta proprio di Terence Tao, un matematico di 44 anni. Da solo, l’australiano di origine cinese ha fatto più progressi di chiunque altro in decenni. Sempre a settembre di quest’anno, Tao ha pubblicato prove che la congettura di Collatz è “quasi” vera “per” quasi “tutti i numeri”.

 

La svolta

Tutto è cambiato quando quest’anno, ad agosto, un utente anonimo ha lasciato un commento sul blog di Tao, suggerendo che il matematico potesse provare a risolvere la congettura di Collatz per “quasi tutti” i numeri invece di provare a risolverlo del tutto. “All’inizio non ho risposto, ma mi ha di nuovo fatto pensare al problema” , spiega Tao.

Ciò che Tao ha concluso è stato che la congettura di Collatz sia in qualche modo simile ai tipi di equazioni che apparvero in alcuni dei risultati più significativi della sua carriera: equazioni differenziali parziali.

Queste sono equazioni che possono essere utilizzate per modellare molti dei processi fisici fondamentali nel nostro universo. E, se a prima vista questo tipo di equazioni non ha nulla a che fare con un problema aritmetico, Tao identifica una somiglianza tra i due.

In qualsiasi equazione differenziale parziale, i matematici vogliono sapere se alcuni dei valori iniziali alla fine portano a valori infiniti o se un’equazione produce sempre valori finiti, indipendentemente dai valori con cui inizi – quasi simile a ciò che accade nella congettura di Collatz. Fu allora che Tao scoprì che poteva applicare una tecnica usata nello studio di tali equazioni che potevano essere utili in questo problema.

Nel contesto della congettura di Collatz, ha immaginato di iniziare con una vasta gamma di numeri. L’obiettivo è studiare come si comportano questi numeri quando si applica il processo utilizzato in Collatz. Se quasi il 100% dei numeri del campione termina in 1 o molto vicino, si può concludere che quasi tutti i numeri si comportano in questo modo.

Tuttavia, la difficoltà era scegliere con cura i numeri dei campioni, come in un sondaggio elettorale (ad esempio, con un numero equilibrato di persone per sesso o età). La stessa cosa accade nei numeri: ci possono essere numeri pari e dispari e altre caratteristiche sottili che li distinguono. Nel suo campione, Tao ha escluso multipli di 3, poiché il processo utilizzato li elimina rapidamente. Inoltre, includeva numeri che, divisi per 3, hanno un resto di 1 o 2.

Pertanto, Tao ha concluso che il 99% (o più) dei numeri termina con un valore vicino a 1. Inoltre, i numeri superiori a 1 quadrilione raggiungono un valore inferiore a 200. I risultati ottenuti dal matematico sono i più vicini a provare la congettura di Collatz mai ottenuta da nessuno. “Possiamo avvicinarci il più possibile alla congettura di Collatz, ma sarà ancora fuori dalla nostra portata” , ha riconosciuto Tao.