I matematici fanno una nuova scoperta sul dodecaedro

I matematici studiano i cinque solidi platonici – tetraedro, cubo, ottaedro, icosaedro e dodecaedro – da più di 2.000 anni e c’è ancora molto che è sconosciuto su di loro. Tanto che un team di tre matematici ha recentemente trovato una risposta a una delle domande più basilari sul dodecaedro .

Se ci troviamo in uno degli angoli di un solido platonico, c’è un percorso rettilineo che possiamo intraprendere che alla fine ci riporta allo stesso punto senza passare per nessuno degli altri angoli?

I ricercatori hanno scoperto che per il cubo, il tetraedro, l’ottaedro e l’icosaedro, la risposta è no. Tuttavia, con il dodecaedro, un solido formato da 12 pentagoni, i matematici hanno scoperto che esiste un numero infinito di possibili percorsi. I risultati dello studio sono stati pubblicati a maggio sulla rivista scientifica Experimental Mathematics.

“Vent’anni fa, [questo problema] era assolutamente fuori portata. 10 anni fa, questo avrebbe richiesto uno sforzo enorme per scrivere tutto il software necessario. Solo ora tutti i fattori si sono uniti“, ha spiegato Anton Zorich, dell’Istituto di matematica Jussieu di Parigi.

I ricercatori hanno scoperto come classificare tutti i percorsi rettilinei, partendo da un angolo e terminando nello stesso punto di partenza, evitando tutti gli altri angoli. I sentieri trovati possono essere suddivisi in 31 famiglie naturali .

Per comprendere meglio i percorsi rettilinei in un solido platonico, è consigliabile iniziare tagliando i bordi fino a quando il solido è piatto, formando ciò che i matematici chiamano una rete. Ecco un esempio di questo con un cubo:

Nel caso del dodecaedro, ogni volta che la linea retta raggiungeva un nuovo pentagono, gli scienziati vi hanno incollato una nuova rete, ma con una rotazione di 36°. Dopo aver realizzato tutti i collage possibili dei bordi paralleli corrispondenti, hanno terminato con quella che viene chiamata la superficie di traslazione.

Il risultato è una rappresentazione altamente ridondante del dodecaedro, con 10 copie di ciascun pentagono, a forma di ciambella da 81 fori. I matematici si sono resi conto che la superficie forma una rappresentazione ridondante non solo del dodecaedro, ma anche di una delle superfici di traslazione più studiate: il doppio pentagono.

Una tegola a doppio pentagono

Poiché il doppio pentagono e il dodecaedro sono “cugini geometrici”, l’alto grado di simmetria del primo può chiarire la struttura del secondo. “Il fatto che il dodecaedro abbia questo gruppo di simmetria nascosta è, a mio parere, straordinario“, ha detto Alex Eskin, dell’Università di Chicago, citato da Quanta Magazine.

Utilizzando un algoritmo per analizzare superfici di traslazione altamente simmetriche, i ricercatori hanno scoperto e classificato tutti i percorsi rettilinei del dodecaedro.