La funzione “patologica” di Karl Weierstrass trasformò per sempre la matematica

La funzione di Karl Weierstrass, un “mostro matematico” del XIX secolo, ha segnato una svolta epocale nella matematica, sfidando concetti fondamentali e trasformando profondamente l’approccio allo studio delle funzioni e del calcolo infinitesimale.

Cosa ha introdotto la funzione di Weierstrass?

Nel 1872, Karl Weierstrass creò una funzione matematica continua ovunque ma non differenziabile in nessun punto. Questa idea era rivoluzionaria e contraria all’intuizione matematica dominante dell’epoca. La funzione mostrava un comportamento “patologico”: era continua, senza salti o interruzioni, ma allo stesso tempo impossibile da approssimare localmente con una retta tangente.

Per costruirla, Weierstrass combinò una serie infinita di funzioni trigonometriche ondulatorie (coseno) con un’opportuna scelta dei coefficienti. Il risultato era una funzione infinitamente irregolare, con una struttura frattale che diventava sempre più complessa man mano che la si esaminava a scala microscopica.

Perché è stata così controversa?

Prima della scoperta di Weierstrass, molti matematici credevano che:

1. Le funzioni continue avessero un numero limitato di punti in cui non erano differenziabili.
2. La continuità implicasse una “quasi regolarità” che si manifestava nella maggior parte dei punti di una funzione.

L’intuizione tradizionale: Come affermava André-Marie Ampère, si pensava che una funzione potesse “zigzagare” solo in misura limitata. La funzione di Weierstrass smentì questa convinzione, dimostrando che poteva esistere una funzione senza alcun punto regolare.

Reazioni alla scoperta

La funzione fu accolta inizialmente con scetticismo e ostilità:

• Henri Poincaré la definì “un oltraggio al buon senso”.
• Charles Hermite la descrisse come un “male deplorevole”.

Il motivo principale era il contrasto con l’approccio applicativo dei matematici francesi, che vedevano il calcolo come uno strumento per risolvere problemi fisici e concreti. Per contro, i matematici tedeschi dell’epoca, tra cui Weierstrass, erano interessati a una rigorosa formalizzazione matematica.

Come ha cambiato la matematica?

La funzione di Weierstrass portò a:

1. Riformulazione dei concetti fondamentali: Weierstrass revisionò le definizioni di continuità e derivabilità, rendendole più rigorose e precise. Questo lavoro ispirò una maggiore formalizzazione della matematica, che gettò le basi per l’analisi moderna.
2. Introduzione di concetti frattali: La sua funzione anticipò l’idea di strutture frattali, caratterizzate da irregolarità su tutte le scale, che sarebbero state sviluppate in modo più formale da Benoit Mandelbrot nel XX secolo.
3. Applicazioni pratiche: La funzione trovò inaspettate applicazioni nei modelli del moto browniano, dei mercati finanziari e nella teoria delle decisioni. Tutti questi fenomeni condividono la caratteristica di continuità senza regolarità.

L’eredità della funzione di Weierstrass

Soprannominata “mostruosa” dai contemporanei, la funzione di Weierstrass dimostrò che anche oggetti apparentemente controintuitivi e poco pratici potevano rivelarsi fondamentali per avanzamenti teorici e applicativi. La sua scoperta segnò l’inizio di una nuova era per la matematica, aprendo la strada a ulteriori esplorazioni di oggetti “patologici” che sfidano la nostra intuizione e allargando i confini della conoscenza.

Foto di Dan Cristian Pădureț su Unsplash