La matematica dei numeri primi, da sempre fonte di fascino e mistero, ha appena compiuto un importante passo in avanti. I matematici Ben Green dell’Università di Oxford e Mehtaab Sawhney della Columbia University hanno trovato un modo innovativo per affrontare un problema di lunga data nella teoria dei numeri, utilizzando un approccio sorprendente: i numeri primi approssimati.
La sfida della congettura di Friedlander-Iwaniec
Nel 2018, i matematici John Friedlander e Henryk Iwaniec proposero una congettura intrigante: esistono infiniti numeri primi della forma p2+4q2p^2 + 4q^2, dove sia pp che qq sono numeri primi. Tuttavia, la natura restrittiva di questa condizione ha reso particolarmente difficile la dimostrazione.
Green e Sawhney, con una profonda esperienza nello studio delle strutture dei numeri primi, si sono resi conto che gli strumenti tradizionali di conteggio non erano adeguati per risolvere il problema. Questo li ha portati ad adottare una soluzione alternativa.
L’approccio innovativo: i numeri primi approssimati
Invece di cercare direttamente i numeri primi, il duo si è focalizzato sui numeri primi approssimati. Questi sono numeri che non sono divisibili per un piccolo insieme di numeri primi e funzionano come approssimazioni dei numeri primi reali.
Passaggi chiave della scoperta:
- Dimostrazione con i numeri primi approssimati: Green e Sawhney hanno inizialmente risolto una versione meno restrittiva della congettura utilizzando questi numeri approssimati.
- Connessione con i numeri primi reali: Hanno poi dimostrato che i risultati ottenuti con i numeri approssimati possono essere trasferiti ai numeri primi reali.
Questo passaggio ha richiesto un’analisi avanzata e innovativa di particolari funzioni matematiche.
L’uso della norma di Gowers
Un elemento chiave della dimostrazione è stata l’applicazione della norma di Gowers, uno strumento creato dal matematico Timothy Gowers per misurare casualità e struttura nelle sequenze matematiche. Sebbene la norma non fosse originariamente legata alla teoria dei numeri, Green e Sawhney sono riusciti ad adattarla con successo per colmare il divario tra numeri primi approssimati e reali.
Risultato: una nuova dimostrazione e progressi futuri
La loro dimostrazione della congettura di Friedlander-Iwaniec è un risultato straordinario. Inoltre, i matematici hanno esteso il loro metodo, mostrando l’esistenza di infiniti numeri primi in altre forme ristrette simili.
Secondo Friedlander:
“Questo risultato è spettacolare”
Implicazioni per la teoria dei numeri
La ricerca apre nuove prospettive nello studio dei numeri primi, offrendo tecniche più flessibili per esplorare la distribuzione e le proprietà di questi numeri misteriosi. L’approccio con numeri primi approssimati e l’impiego della norma di Gowers potrebbero fornire soluzioni a congetture irrisolte e approfondimenti sulla struttura dei numeri primi.
Ancora una volta, la matematica dimostra come nuove idee e strumenti, utilizzati in maniera creativa, possano portare alla risoluzione di problemi antichi e straordinari.
